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 2025/03/06  4

因为上课看不懂公式遂诞生了此推导笔记

股票定价模型

几何布朗运动

基本推导

$d S_{t} = μ S_{t} d t + σ S_{t} d W_{t}$

其中 $W (t)$ 为布朗运动，又称为微纳过程（Wiener process）。其满足三个条件

独立增量（Independence of Increments）
- 对于 $t > s$ ，增量 $W (t) - W (s)$ 应该独立于之前的过程 $W (u)$ ，只要 $u < s$
正态增量（Normal Increments）
- 对于 $t > s$ ，增量 $W (t) - W (s)$ 满足正态分布， $W (t) - W (s) \sim N (0, t - s)$ ，即
  $d W_{t} \sim N (0, d t)$
连续不可导（Continuous but Nowhere Differentiable）
- $W (t)$ 是一个连续的函数，并且处处不可导

对上述公示做个变化，可得到
$\frac{d S_{t}}{S_{t}} = μ d t + σ d W_{t}$

$d y = f^{'} (x) d x$ ，这里若 $y = f (x) = l o g (x)$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ， $d l o g (x) = \frac{d x}{x}$

故 $d l o g (S_{t}) = \frac{d S_{t}}{S_{t}}$

而由于 $\frac{d S_{t}}{S_{t}}$ 是股票收益率 $r_{t}$ ，即股票价格变化除去股票价格。即股票价格的对数变化代表了股票的即时收益率。对数收益率 衡量价格在对数尺度上的变化，它的一个优点是 可以直接相加（因为对数收益率是连续复利的）。

普通收益率的累积计算涉及乘法： $(1 + r_{1}) (1 + r_{2}) - 1$ 。
但对数收益率直接相加： $\log (1 + r_{1}) + \log (1 + r_{2})$ 。

故得到
$r_{t} = μ d t + σ d W_{t}$
右边的 $μ d t$ 是一个依赖于时间 $t$ 的漂移项即趋势项 drift，它表示股票价格的长期趋势。对其取期望
$E [r_{t}] = E [μ d t + σ d W_{t}]$
利用期望的线性性质： $E [r_{t}] = E [μ d t] + E [σ d W_{t}]$

其中， $μ$ 是常数， $(d t$ 是确定值（非随机），所以： $E [μ d t] = μ d t$ ；
由于布朗运动的增量满足： $d W_{t} \sim N (0, d t)$ ，它的期望为 0： $E [d W_{t}] = 0$ 。因此 $E [σ d W_{t}] = σ E [d W_{t}] = σ \cdot 0 = 0$

综上所述：
$E [r_{t}] = μ d t$
所以可以得到 $μ$ 是年化收益率

若对 $r_{t}$ 求标准差，首先求方差：
$Var (r_{t}) = E [r_{t}^{2}] - {(E [r_{t}])}^{2} Var (r_{t}) = Var (μ d t + σ d W_{t})$

由于 $μ d t$ 不依赖于任何随机因素、不是随机变量、都是固定的数值，常数项的方差为 0， $Var (r_{t}) = Var (σ d W_{t})$
布朗运动增量服从正态分布 $d W_{t} \sim N (0, d t)$ ，故 $Var (d W_{t}) = d t$ ，所以： $Var (σ d W_{t}) = σ^{2} Var (d W_{t}) = σ^{2} d t$

综上，方差为：
$Var (r_{t}) = σ^{2} d t$
标准差为：
$Std (r_{t}) = \sqrt{Var (r_{t})} = \sqrt{σ^{2} d t} = σ \sqrt{d t}$
若 $d t = 1$ ，则 $Std (r_{t}) = σ$ ，所以 $σ$ 可以表示股票的年化波动率 volatility

某资产过去一年的每日对数收益率的标准差为1.5%（即 $σ$ =0.015），则年化波动率为？

$1.5$

Ito’s Lemma

假设一个随机过程 $X_{t}$ ：
$d (X_{t}, t) = μ (X_{t}, t) d t + σ (X_{t}, t) d W_{t}$
假设有一个关于 $X_{t}$ 和 $t$ 的二元可微函数： $Y_{t} = f (X_{t}, t)$ 。我们希望求 $d Y_{t}$ 的表达式，即 $Y_{t}$ 作为 $X_{t}$ 的函数的微分形式。

对于二元函数 $f (X_{t}, t)$ ，我们对 $X_{t}$ 和 $t$ 进行二阶泰勒展开，忽略更高阶的微小项（ $(d t)^{2}$ 和 $d W_{t} d t$ 这些可以忽略的高阶无穷小量）。
$d f = \frac{\partial f}{\partial t} d t + \frac{\partial f}{\partial X} d X + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial X^{2}} (d X)^{2}$
已知 $d X_{t} = μ d t + σ d W_{t}$ ，我们可以计算 $d X_{t}$ 的二次微分项：

一阶微分项： $d X_{t} = μ d t + σ d W_{t}$
二阶微分项 $(d X_{t})^{2}$ ： $(d X_{t})^{2} = (μ d t + σ d W_{t})^{2} = μ^{2} d t^{2} + 2 μ σ d t d W_{t} + σ^{2} d W_{t}^{2}$

由于
- $d t^{2}$ 是高阶无穷小，忽略
- $d t d W_{t}$ 也是高阶无穷小，忽略
- Wiener 过程的增量性质 $d W_{t}^{2} = d t$

所以 $(d X_{t})^{2} = σ^{2} d t$

将 $d X_{t}$ 和 $(d X_{t})^{2}$ 代入泰勒展开式：
$d Y_{t} = (\frac{\partial f}{\partial t} + μ \frac{\partial f}{\partial X} + \frac{1}{2} σ^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial X^{2}}) d t + σ \frac{\partial f}{\partial X} d W_{t}$
若 $X_{t} = W_{t}$ ，标准布朗运动，则 $μ = 0, σ = 1$ ，故：
$d W_{t} = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial W_{t}^{2}}) d t + \frac{\partial f}{\partial W_{t}} d W_{t}$

股票价格

首先对股票价格取对数，并对对数结果应用伊藤公式
$X_{t} = \ln S_{t}$

$d X_{t} = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial W_{t}^{2}}) d t + \frac{\partial f}{\partial W_{t}} d W_{t}$

$\frac{\partial f}{\partial t} = 0, \frac{\partial f}{\partial S_{t}} = \frac{1}{S_{t}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial S_{t}^{2}} = - \frac{1}{S_{t}^{2}}$

代回
$d X_{t} = \frac{1}{S_{t}} (μ S_{t} d t + σ S_{t} d W_{t}) - \frac{1}{2} \frac{σ^{2} S_{t}^{2}}{S_{t}^{2}} d t = (μ - \frac{1}{2} σ^{2}) d t + σ d W_{t}$
积分
$X_{t} - X_{0} = \int_{0}^{t} (μ - \frac{1}{2} σ^{2}) d t + \int_{0}^{t} σ d W_{t}$

$X_{t} = X_{0} + (μ - \frac{1}{2} σ^{2}) t + σ W_{t}$

因此
$S_{t} = e^{X_{t}} = S_{0} \exp ((μ - \frac{1}{2} σ^{2}) t + σ W_{t})$

其它模型

自回归模型

自回归模型（AutoRegressive Model）是基于自身过去的值来预测当前值的模型。它的基本思想是，过去的观测值包含对当前观测值的信息。

$A R (p)$ 表示一个 $p$ 阶自回归模型：
$r (t) = α + β_{1} r (t - 1) + β_{2} r (t - 2) + \dots + β_{p} r (t - p) + ϵ (t)$
其中， $β$ 是滞后项的系数， $ϵ (t)$ 是白噪声过程。若 $p = 1$ ，则得到一阶自回归模型 $A R (1)$
$r (t) = α + β_{1} r (t - 1) + ϵ (t)$
关键假设：

未来的值由过去的 p 个值线性决定
数据存在一定的自相关性

移动平均模型

如果股票价格的增量存在较弱的短期线相关性

移动平均模型（Moving Average Model）是基于过去的误差项（白噪声）来建模当前值。它的基本思想是，当前的观测值是过去白噪声项的线性组合。
$r (t) = c + ϵ (t) + β_{1} ϵ (t - 1) + β_{2} ϵ (t - 2) + \dots + β_{q} ϵ (t - q)$
MA 模型强调的是过去的随机冲击（噪声）对当前的影响

自回归移动平均模型

ARMA（AutoRegressive Moving Average）模型是将 AR 和 MA 模型结合在一起的模型。它的基本思想是，当前的值同时受过去的观测值和过去的扰动项的影响。
$r (t) = c + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} r (t - i) + \sum_{j = 1}^{q} θ_{j} ϵ (t - j) + ϵ (t)$
$A R (p)$ → 表示自回归部分， $M A (q)$ → 表示移动平均部分

差分自回归移动平均模型

ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型在 ARMA 的基础上，加入了差分操作，来解决非平稳时间序列的问题。它的基本思想是，通过对时间序列进行差分，使其平稳后，再用 ARMA 进行建模。

$A R I M A (p, q, d)$ 表示自回归阶数、移动平均阶数以及差分阶数
$(1 - \sum_{i = 1}^{p} β_{i} L^{i}) (1 - L)^{d} r (t) = c + (1 + \sum_{j = 1}^{q} θ_{j} L^{j}) ϵ (t)$
其中， $L$ 是滞后算子
$(1 - L) r (t) = r (t) - r (t - 1)$

广义自回归条件异方差模型

GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity）模型专门用来描述时间序列的波动性（方差）。它的基本思想是，在金融时间序列中，波动率（方差）通常是动态变化的。
$σ_{t}^{2} = α_{0} + \sum_{i = 1}^{p} α_{i} ϵ_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{q} β_{j} σ_{t - j}^{2}$
$σ_{t}^{2}$ → 时间 t 的条件方差， $ϵ_{t}$ → 残差项， $α_{i}, β_{j}$ → 系数

比较

模型	解释	应用场景
AR	过去值的自相关性	股票、经济指标
MA	过去的噪声项影响	短期波动建模
ARMA	AR + MA	经济和金融建模
ARIMA	差分 + ARMA	趋势建模
GARCH	动态波动率	波动率建模

股票的基本统计指标

累计收益率

一个是对数收益率，实际上是连续复利收益率，方便在时间上累计，适用于长期持有或者高波动的市场，具有更好的统计性质。第二个则是绝对收益率，直接表示了从1到T时刻到相对变化，长期复利收益计算时不太准备
$R (t) = \log (p (T)) - l o g (p (1))$

$R (t) = \frac{p (T)}{p (1)} - 1$

年化收益率

$r (t) = \frac{\log (\frac{p (T)}{p (1)})}{T} * 242$

$r (t) = (\frac{p (T)}{p (1)})^{\frac{242}{T}} - 1$

年化波动率

$σ = s t d * \sqrt{242}$

信息比率

IR 衡量的是投资策略相对于基准的超额收益的稳定性。如果 IR 高，表示策略不仅战胜了基准，而且取得超额收益的波动性较小（更稳定）。通常，IR > 1 就已经是一个非常优秀的策略

这里 $r (t)$ 是年化收益率， $B (t)$ 是基准年化收益率， $σ$ 是超额收益率即 $r (t) - B (t)$ 的波动率
$I R = \frac{r (t) - B (t)}{σ}$

夏普比率

夏普比率衡量的是每承担一个单位的波动性，策略能获得多少超额收益，即在承担相同风险下，策略创造的超额收益能力。与IR不同，夏普比率是相对于无风险利率的超额收益，而不是基准。无风险收益率通常用国债利率或隔夜拆借利率等来替代。

$r_{f}$ 是年化无风险利率， $σ$ 是策略收益率的波动率
$S h a r p e = \frac{r (t) - r_{f}}{σ}$

最大回撤

在一段时间内从最高点回调下跌的最大幅度，也是这一段时间周期内所产生的最大损失。

给定考察期间内，每一时间点 $i$ 的回撤值为
$d d_{i} = 1 - \frac{p_{i}}{p_{j}}, p_{j} = max (p_{t < i})$
则
$d d_{m a x} = m a x (d d_{i})$

移动平均线

简单移动平均线， $P_{t}$ 是第t日的收盘价
$M A_{t} = \frac{P_{t} + p_{t - 1} + P_{t - 2} + \dots + P_{t - n + 1}}{n}$
指数加权移动平均线，以指数式递减甲醛的移动平均。各数值的加权随时间而指数式递减，越近期的数据加权越重。
$E M A_{t} = α P_{t} + (1 - α) E M A_{t - 1}$

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