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 2025/03/06 

因为上课看不懂公式遂诞生了此推导笔记

股票定价模型

几何布朗运动

基本推导

$$
dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_t dW_t
$$

其中 $W(t)$ 为布朗运动，又称为微纳过程（Wiener process）。其满足三个条件

独立增量（Independence of Increments）
- 对于 $t > s$，增量 $W(t) - W(s) $ 应该独立于之前的过程 $W(u)$，只要 $u < s$
正态增量（Normal Increments）
- 对于 $t > s$，增量 $W(t) - W(s)$ 满足正态分布，$W(t) - W(s) \sim \mathcal{N}(0, t - s)$，即
  $$
  dW_t \sim \mathcal{N}(0, dt)
  $$
连续不可导（Continuous but Nowhere Differentiable）
- $W(t)$ 是一个连续的函数，并且处处不可导

对上述公示做个变化，可得到
$$
\frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t
$$

$dy = f’(x)dx$，这里若 $y = f(x) = log(x)$，则 $f’(x) = \frac{1}{x}$，$dlog(x) = \frac{dx}{x}$

故 $dlog(S_t) = \frac{dS_t}{S_t}$

而由于 $\frac{dS_t}{S_t}$ 是股票收益率 $r_t$，即股票价格变化除去股票价格。即股票价格的对数变化代表了股票的即时收益率。对数收益率 衡量价格在对数尺度上的变化，它的一个优点是 可以直接相加（因为对数收益率是连续复利的）。

普通收益率的累积计算涉及乘法：$ (1 + r_1)(1 + r_2) - 1$ 。
但对数收益率直接相加：$ \log(1 + r_1) + \log(1 + r_2)$ 。

故得到
$$
r_t = \mu dt + \sigma dW_t
$$
右边的 $\mu dt$ 是一个依赖于时间 $t$ 的漂移项即趋势项 drift，它表示股票价格的长期趋势。对其取期望
$$
\mathbb{E}[r_t] = \mathbb{E}[\mu dt + \sigma dW_t]
$$
利用期望的线性性质：$\mathbb{E}[r_t] = \mathbb{E}[\mu dt] + \mathbb{E}[\sigma dW_t]$

其中，$\mu$ 是常数，$(dt$ 是确定值（非随机），所以：$\mathbb{E}[\mu dt] = \mu dt$；
由于布朗运动的增量满足：$ dW_t \sim \mathcal{N}(0, dt) $，它的期望为 0：$ \mathbb{E}[dW_t] = 0 $。因此 $\mathbb{E}[\sigma dW_t] = \sigma \mathbb{E}[dW_t] = \sigma \cdot 0 = 0$

综上所述：
$$
\mathbb{E}[r_t] = \mu dt
$$
所以可以得到 $\mu$ 是年化收益率

若对 $r_t$ 求标准差，首先求方差：
$$
\text{Var}(r_t) = \mathbb{E} \left[ r_t^2 \right] - \left( \mathbb{E}[r_t] \right)^2 \
\text{Var}(r_t) = \text{Var}(\mu dt + \sigma dW_t)
$$

由于 $\mu dt$ 不依赖于任何随机因素、不是随机变量、都是固定的数值，常数项的方差为 0，$\text{Var}(r_t) = \text{Var}(\sigma dW_t)$
布朗运动增量服从正态分布 $dW_t \sim \mathcal{N}(0, dt)$，故 $\text{Var}(dW_t) = dt$，所以：$\text{Var}(\sigma dW_t) = \sigma^2 \text{Var}(dW_t) = \sigma^2 dt$

综上，方差为：
$$
\text{Var}(r_t) = \sigma^2 dt
$$
标准差为：
$$
\text{Std}(r_t) = \sqrt{\text{Var}(r_t)} = \sqrt{\sigma^2 dt} = \sigma \sqrt{dt}
$$
若 $dt = 1$，则 $\text{Std}(r_t)=\sigma$，所以 $\sigma$ 可以表示股票的年化波动率 volatility

某资产过去一年的每日对数收益率的标准差为1.5%（即 $σ$=0.015），则年化波动率为？

$1.5% = \sigma \times \sqrt{\frac{1}{242}}$

Ito’s Lemma

假设一个随机过程 $X_t$ ：
$$
d(X_t, t) = \mu(X_t, t) dt + \sigma(X_t, t) dW_t
$$
假设有一个关于 $X_t$ 和 $t$ 的二元可微函数：$Y_t = f(X_t, t)$。我们希望求 $dY_t$ 的表达式，即 $Y_t$ 作为 $X_t$ 的函数的微分形式。

对于二元函数 $f(X_t, t)$ ，我们对 $X_t$ 和 $t$ 进行二阶泰勒展开，忽略更高阶的微小项（ $(dt)^2$ 和 $dW_t dt$ 这些可以忽略的高阶无穷小量）。
$$
df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial X} dX + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} (dX)^2
$$
已知 $dX_t = \mu dt + \sigma dW_t$ ，我们可以计算 $dX_t$ 的二次微分项：

一阶微分项：$dX_t = \mu dt + \sigma dW_t$
二阶微分项 $(dX_t)^2$ ：$(dX_t)^2 = (\mu dt + \sigma dW_t)^2 = \mu^2 dt^2 + 2\mu\sigma dt dW_t + \sigma^2 dW_t^2$

由于
- $dt^2$ 是高阶无穷小，忽略
- $dt dW_t$ 也是高阶无穷小，忽略
- Wiener 过程的增量性质 $dW_t^2 = dt$

所以 $(dX_t)^2 = \sigma^2 dt$

将 $dX_t$ 和 $(dX_t)^2$ 代入泰勒展开式：
$$
dY_t = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu \frac{\partial f}{\partial X} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} \right) dt + \sigma \frac{\partial f}{\partial X} dW_t
$$
若 $X_t = W_t$，标准布朗运动，则 $\mu = 0, \sigma = 1$，故：
$$
dW_t = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2} \right) dt + \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t
$$

股票价格

首先对股票价格取对数，并对对数结果应用伊藤公式
$$
X_t = \ln S_t
$$

$$
dX_t = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2} \right) dt + \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial t} = 0,\quad \frac{\partial f}{\partial S_t} = \frac{1}{S_t},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial S_t^2} = -\frac{1}{S_t^2}
$$

代回
$$
dX_t = \frac{1}{S_t} (\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t) - \frac{1}{2} \frac{\sigma^2 S_t^2}{S_t^2} dt = (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) dt + \sigma dW_t
$$
积分
$$
X_t - X_0 = \int_0^t (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) dt + \int_0^t \sigma dW_t
$$

$$
X_t = X_0 + (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t + \sigma W_t
$$

因此
$$
S_t = e^{X_t} = S_0 \exp\left( (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma W_t \right)
$$

其它模型

自回归模型

自回归模型（AutoRegressive Model）是基于自身过去的值来预测当前值的模型。它的基本思想是，过去的观测值包含对当前观测值的信息。

$AR(p)$ 表示一个 $p$ 阶自回归模型：
$$
r(t) = \alpha + \beta_1 r(t-1) + \beta_2 r(t-2) + \cdots + \beta_p r(t-p) + \epsilon(t)
$$
其中，$\beta$ 是滞后项的系数，$\epsilon(t)$ 是白噪声过程。若 $p = 1$，则得到一阶自回归模型 $AR(1)$
$$
r(t) = \alpha + \beta_1 r(t-1) + \epsilon(t)
$$
关键假设：

未来的值由过去的 p 个值线性决定
数据存在一定的自相关性

移动平均模型

如果股票价格的增量存在较弱的短期线相关性

移动平均模型（Moving Average Model）是基于过去的误差项（白噪声）来建模当前值。它的基本思想是，当前的观测值是过去白噪声项的线性组合。
$$
r(t) = c + \epsilon(t) + \beta_1 \epsilon(t-1) + \beta_2 \epsilon(t-2) + \cdots + \beta_q \epsilon(t-q)
$$
MA 模型强调的是过去的随机冲击（噪声）对当前的影响

自回归移动平均模型

ARMA（AutoRegressive Moving Average）模型是将 AR 和 MA 模型结合在一起的模型。它的基本思想是，当前的值同时受过去的观测值和过去的扰动项的影响。
$$
r(t) = c + \sum_{i=1}^p \beta_i r(t-i) + \sum_{j=1}^q \theta_j \epsilon(t-j) + \epsilon(t)
$$
$AR(p)$ → 表示自回归部分，$MA(q)$ → 表示移动平均部分

差分自回归移动平均模型

ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型在 ARMA 的基础上，加入了差分操作，来解决非平稳时间序列的问题。它的基本思想是，通过对时间序列进行差分，使其平稳后，再用 ARMA 进行建模。

$ARIMA(p, q, d)$ 表示自回归阶数、移动平均阶数以及差分阶数
$$
(1 - \sum_{i=1}^p \beta_i L^i)(1 - L)^d r(t) = c + (1 + \sum_{j=1}^q \theta_j L^j) \epsilon(t)
$$
其中，$L$ 是滞后算子
$$
(1 - L)r(t) = r(t) - r(t - 1)
$$

广义自回归条件异方差模型

GARCH（Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity）模型专门用来描述时间序列的波动性（方差）。它的基本思想是，在金融时间序列中，波动率（方差）通常是动态变化的。
$$
\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^q \beta_j \sigma_{t-j}^2
$$
$\sigma_t^2$ → 时间 t 的条件方差，$\epsilon_t$ → 残差项，$\alpha_i, \beta_j$ → 系数

比较

模型	解释	应用场景
AR	过去值的自相关性	股票、经济指标
MA	过去的噪声项影响	短期波动建模
ARMA	AR + MA	经济和金融建模
ARIMA	差分 + ARMA	趋势建模
GARCH	动态波动率	波动率建模

股票的基本统计指标

累计收益率

一个是对数收益率，实际上是连续复利收益率，方便在时间上累计，适用于长期持有或者高波动的市场，具有更好的统计性质。第二个则是绝对收益率，直接表示了从1到T时刻到相对变化，长期复利收益计算时不太准备
$$
R(t) = \log(p(T)) - log(p(1))
$$

$$
R(t) = \frac{p(T)}{p(1)} - 1
$$

年化收益率

$$
r(t) = \frac{\log(\frac{p(T)}{p(1)})}{T} * 242
$$

$$
r(t) = (\frac{p(T)}{p(1)})^{\frac{242}{T}} - 1
$$

年化波动率

$$
\sigma = std * \sqrt{242}
$$

信息比率

IR 衡量的是投资策略相对于基准的超额收益的稳定性。如果 IR 高，表示策略不仅战胜了基准，而且取得超额收益的波动性较小（更稳定）。通常，IR > 1 就已经是一个非常优秀的策略

这里 $r(t)$ 是年化收益率，$B(t)$ 是基准年化收益率，$\sigma$ 是超额收益率即 $r(t) - B(t)$ 的波动率
$$
IR = \frac{r(t) - B(t)}{\sigma}
$$

夏普比率

夏普比率衡量的是每承担一个单位的波动性，策略能获得多少超额收益，即在承担相同风险下，策略创造的超额收益能力。与IR不同，夏普比率是相对于无风险利率的超额收益，而不是基准。无风险收益率通常用国债利率或隔夜拆借利率等来替代。

$r_f$ 是年化无风险利率，$\sigma$ 是策略收益率的波动率
$$
Sharpe = \frac{r(t) - r_f}{\sigma}
$$

最大回撤

在一段时间内从最高点回调下跌的最大幅度，也是这一段时间周期内所产生的最大损失。

给定考察期间内，每一时间点 $i$ 的回撤值为
$$
dd_i = 1 - \frac{p_i}{p_j}, p_j = \max(p_{t < i})
$$
则
$$
dd_{max} = max(dd_i)
$$

移动平均线

简单移动平均线，$P_t$ 是第t日的收盘价
$$
MA_t = \frac{P_t + p_{t-1} + P_{t-2} + \cdots + P_{t-n+1}}{n}
$$
指数加权移动平均线，以指数式递减甲醛的移动平均。各数值的加权随时间而指数式递减，越近期的数据加权越重。
$$
EMA_t = \alpha P_t + (1 - \alpha)EMA_{t - 1}
$$

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